In unserem Tonsystem sind 12 Halbtöne je Oktave üblich, davon sieben Ganz- (weiße Tasten) und fünf Halbtöne (schwarze Tasten). Der Grund für gerade diese Tastenzahlen ist keineswegs willkürlich, sondern streng mathematisch begründet, und zwar mit Hilfe der Kettenbrüche:
Mit dieser Theorie lassen sich („krumme“) Dezimalbrüche durch eine schnell immer besser werdende Folge von Brüchen (mit Zähler und Nenner) annähern. Das Verfahren ist einfach, man nimmt den ganzzahligen Anteil der Zahl, subtrahiert ihn (Rest < 1!), bildet davon den Kehrbruch (>1), subtrahiert wieder den ganzzahligen Anteil vom Rest, „stürzt“ wieder u.s.w., Bsp.:
mit den Näherungswerten(man nimmt nur die ersten Folgeglieder und rechnet damit „rückwärts“): 
Für unser Problem des sich nicht sauber schließenden Quintenzirkels bedeutet das: Eine Oktave mit n Halbtönen soll sich bei einem Quintenabstand von k Halbtönen möglichst „sauber“ schließen, es soll also möglichst genau gelten:
für den Bruch erhält man folgende Kettenglieder:
mit den Näherungswerten
An fünfter Stelle dieser Näherung kommen unsere 12 Halbtöne (Nenner), von denen 7 (Zähler) eine Quinte bilden. Grundsätzlich wäre auch eine Oktave mit 306 Halbtönen (davon 179 als Quinte) denk- aber nicht spielbar (man stelle sich ein Klavier mit 306 Tasten je Oktave vor!). Auch 41 Halbtöne sind nicht üblich, die vorherige Näherung mit 5 Halbtönen je Oktave (davon 3 als Quinte) ist jedoch im balinesischen Raum durchaus verbreitet (Slendro). Auch die 53 Halbtöne mit 31 als Quintenabstand waren im 17. Jh. im Gespräch,
weil eben die Quinten dann sehr sauber klingen (nur 1,89 Cent Abweichung, vgl. bei „uns“ 1,955 Cent)
Beispiel für 5 Halbtöne je Oktave, Slendro und Pelog (Video): https://www.youtube.com/watch?v=3Ku9iH2pU9g
Beispiel für 53 Halbtöne je Oktave (53M-Mercatorskala, Erläuterung): https://kilchb.de/oktave53.php